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Löse die Funktionalgleichung f(xy) = y² f(x) + x² f(y). f(x) = ? wenn...
Die Funktionalgleichung f(xy) = y² f(x) + x² f(y) soll gelöst werden. Beidseitig durch (xy)² dividieren ergibt f(xy) / (x²y²) = f(x) / x² + f(y) / y². Die Substitution g(u) = f(u) / u² ergibt g(x · y) = g(x) + g(y). Dies ist jedoch die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktion. Es gilt also g(u) = logₐ(u), resp. f(u) = u² · g(u) = u² · logₐ(u). Dabei ist a eine beliebige Basis. Wenn man dann einsetzt f(2) = 2² · logₐ(2) = 4 erhält man für die Basis a = 2, d.h. f(x) = x² · log₂(x).
u/math-monkey — 5 days ago